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  • 已知函数f（x）=ax-1ax+1(a＞1)．（1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明f（x）是R上的增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax-1
      ax+1
      (a＞1)．
      （1）判断函数的奇偶性；
      （2）求该函数的值域；
      （3）证明f（x）是R上的增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数的定义域为R，
      f（-x）+f（x）=
      a-x-1
      a-x+1
      +
      ax-1
      ax+1

      =
      (ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)
      (ax+1)(a-x+1)
      =0
      ∴函数f（x）为奇函数
      （2）∵f（x）=
      ax-1
      ax+1
      =1-
      2
      ax+1
      （a＞1）
      设t=a      x，则t＞0，y=1-
      2
      t+1
      的值域为（-1，1）
      ∴该函数的值域为（-1，1）
      （3）证明：法一：∵f′（x）=
      2axlna
      (ax+1)2
      ＞0
      ∴f（x）是R上的增函数
      法二：设x      1，x2∈R，且x1＜x2
      则f（x1）-f（x2）=
      ax1-1
      ax1+1
      -
      ax2-1
      ax2+1
      =
      2(ax1-ax2)
      (ax1+1)(ax2+1)

      ∵x      1，x2∈R，且x1＜x2
      ∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
      ∴
      2(ax1-ax2)
      (ax1+1)(ax2+1)
      ＜0，即f（x1）-f（x2）＜0，f（x1???＜f（x2）
      ∴f（x）是R上的增函数
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