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设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2),(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)的定义域D关于原点对称,0∈D,且存在常数a>0,使f(a)=1,又f(x
1
-x
2
)=
f(x
1
)-f(x
2
)
1+f(x
1
)f(x
2
)
,
(1)写出f(x)的一个函数解析式,并说明其符合题设条件;
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性;
(3)若存在正常数T,使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立,则都称f(x)是周期函数,T为周期;试问f(x)是不是周期函数?若是,则求出它的一个周期T;若不是,则说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)取f(x)=tanx,定义域为{x|x≠kπ+
π
2
,k∈Z}关于原点对称,且0∈D;且存在常数a=
π
4
使得
f(a)=tana=1;又由两角差的正切公式知,f(x
1
-x
2
) =
f(x
1
)-f(x
2
)
1+f(x
1
)f(x
2
)
符合.…(4分)
(2)f(x)是D上的奇函数;
证明如下:f(0)=0,取x
1
=0,x
2
=x,由f(x
1
-x
2
) =
f(x
1
)-f(x
2
)
1+f(x
1
)f(x
2
)
得f(-x)=-f(x),所以f(x)是D上的奇函数;…(4分)
(3)考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a,可猜测4a是f(x)的一个周期.
证明:由已知f(x-a)=
f(x)-f(a)
1+f(x)f(a)
=
f(x)-1
1+f(x)
,则f(x-2a)=f[(x-a)-a]=
f(x-a)-1
1+f(x-a)
=[
f(x)-1
1+f(x)
-1 ] ÷[1+
f(x)-1
1+f(x)
] = -
1
f(x)
,
∴f(x-4a)=f[(x-2a)-2a]=-
1
f(x-2a)
=f(x).
所以f(x)是周期函数,4a是f(x)的一个周期.…(7分)
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