对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），如果存在实数m、n使得h（x）=m?f（x）+n?g（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x）、g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+x和g（x）=x+2生成一个偶函数h（x），求h（√2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）如果给定实系数基函数f（x）=k1x+b1，g（x）=k2x+b2（k1k2≠0），问：任意一个一次函数h（x）是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），如果存在实数m、n使得h（x）=m?f（x）+n?g（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x）、g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x²+x和g（x）=x+2生成一个偶函数h（x），求h（

√2

）的值；
（2）若h（x）=2x²+3x-1由函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）如果给定实系数基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），问：任意一个一次函数h（x）是否都可以由它们生成？请给出你的结论并说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）设h（x）=m（x²+x）+n（x+2）=mx²+（m+n）x+2n，
∵h（x）是偶函数，∴m+n=0，∴h（

√2

）=2m+2n=0．
（2）设h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

{	m=2 am+n=3 nb=-1

，解得

{

3-n

b=-

，
∴a+2b=

3-n

．
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

）∪（

，+∞）．
（3）如果给定实系数基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0），则任意一个一次函数h（x）都可以由它们生成．
证明：设任意一个一次函数h（x）=kx+h，且k≠0，
假设h（x）=mf（x）+ng（x），则有 kx+h=mk₁x+mb₁+nk₂x+nb₂，解得 m=

k+m?b₁?k ₂-hk ₂

k₁b ₂

，n=

k?b₁?k ₂+m b₁² k ₂

k₁b₂ ²

．
这说明，无论给任何一个一次函数 h（x）=kx+b，都可以用基函数f（x）=k₁x+b₁，g（x）=k₂x+b₂（k₁k₂≠0）来表示，问题得证．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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