设函数f(x)=x+a2x(a＞0)，（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f(x)=x+

a²

(a＞0)，
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；
（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．

试题解答

见解析

解：（1）证明：因为f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f(-x)=-x-

a²

=-f(x)，
故f（x）是奇函数；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂≤a，则f(x₁)-f(x₂)=x₁+

a²

x₁

-x₂-

a²

x₂

=(x₁-x₂)(1-

a²

x₁x₂

)．
因为0＜x₁＜x₂≤a，所以0＜x₁x₂＜a²，从而1-

a²

x₁x₂

＜0且x₁-x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
因此函数f（x）在区间（0，a]上单调递减；同理可以证明函数f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）是奇函数；在区间（0，a]上单调递减，在区间[a，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，
综上所述：函数f（x）在区间（-∞，-a]上单调递增，在区间[-a，0）上单调递减，在（0，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．

标签

必修1 人教A版单选题高中数学

设函数f(x)=x+a2x(a＞0)，（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（0，a]单调递减；（3）试判断（不必证明）函数f（x）在定义域上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题