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  • 已知：f(x)=x+1x，（1）求函数f（x）的定义域（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明结论（3）求函数f（x）在[13，12]上的最值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：f(x)=x+
      1
      x
      ，
      （1）求函数f（x）的定义域
      （2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明结论
      （3）求函数f（x）在[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]上的最值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）要使函数有意义，则x≠0，即函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
      （2）函数f（x）在（0，1）上单调递减，
      设0＜x      1＜x2＜1，
      则f(x      1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -x2-
      1
      x2
      =(x1-x2)+
      x2-x1
      x1?x2
      =(x1-x2)?
      x1x2-1
      x1?x2
      ，
      ∵0＜x      1＜x2＜1，
      ∴x      1-x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2-1＜0，
      ∴f(x      1)-f(x2)=(x1-x2)?
      x1x2-1
      x1x2
      ＞0，
      即f（x      1）＞f（x2），
      ∴f（x）在（0，1）上的单调递减．
      （3）由（2）知f（x）在（0，1）上的单调递减．
      ∴函数f（x）在[
      1
      3
      ，
      1
      2
      ]上也单调递减，
      ∴当x=
      1
      3
      时，函数f（x）取得最大值f（
      1
      3
      ）=
      1
      3
      +3=
      10
      3
      ，
      当x=
      1
      2
      时，函数f（x）取得最小值f（
      1
      2
      ）=
      1
      2
      +2=
      5
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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