设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））（1）求函数f（x）的解析式和定义域；（2）若f（1）=1，求函数f（x）在x∈[1，4]时的最大值g（b），并求函数g（b）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））
（1）求函数f（x）的解析式和定义域；
（2）若f（1）=1，求函数f（x）在x∈[1，4]时的最大值g（b），并求函数g（b）的最小值．

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见解析

解：（1）∵f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））；
设2^x=t，则t≥1，∴x=log₂t，
∴f（t）=(log₂t)²+blog₂t+c，
即f（x）=(log₂x)²+blog₂x+c，定义域为[1，+∞）；
（2）∵f（1）=1，∴c=1，
∴f（x）=(log₂x)²+blog₂x+1，其中x∈[1，4]；
∴f′（x）=2log₂x?

xln2

2log₂x+b

xln2

，
∵x∈[1，+4]，
∴xln2＞0，2log₂x+b=0；
∴x=2^-b
2，且1≤2^-b
2≤4，得-4≤b≤0，
∴f（x）在x∈[1，4]时的最大值：
g（b）=f（2^-b
2）=(-

)²+b?（-

）+1=-

b²

+1，
当b=-4时，g（b）的最小值是g（b）_min=g（-4）=-

+1=-3．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R），（x∈[0，+∞））（1）求函数f（x）的解析式和定义域；（2）若f（1）=1，求函数f（x）在x∈[1，4]时的最大值g（b），并求函数g（b）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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