已知函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．（1）求a的值；（2）求函数y=a x2-4的单调区间．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．
（1）求a的值；
（2）求函数y=a ^x²-4的单调区间．

试题解答

见解析

解：（1）令t=a^x，则y=t²+2t-1=（t+1）²-2，
当a＞1时，∵x∈[-1，1]，则t∈[

，a]，
∴函数在[

，a]上是增函数，
∴当t=a时，函数取到最大值14=a²+2a-1，
解得a=3或-5（舍），则a的值为3．
当0＜a＜1时，则t=a^x是减函数，
所以0＜a＜t＜a^-1
所以y的图象都在对称轴t=-1的右边，开口向上并且递增
所以t=a^-1时有最大值
所以y=（a^-1+1）²-2=14，解得a=

，符合0＜a＜1
故a的值为3或

；
（2）由（1）知，a的值为3或

；
当a的值为3时，y=a ^x²-4= 3^x²-4，
则函数 y=3^x²-4分解成两部分：f（U）=3^U外层函数，U=x²-4是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数y=3^U单调增函数，
则函数 y=3^x²-4单调递增区间就是函数y=x²-4单调递增区间；
函数 y=3^x²-4单调递减区间就是函数y=x²-4单调递减区间；
∴函数 y=3^x²-4单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，0）．
当a的值为

时，y=a ^x²-4=3^4-x²，
则函数y=3^4-x²分解成两部分：f（U）=3^U外层函数，U=4-x²是内层函数．
根据复合函数的单调性，可得函数y=3^U单调增函数，
则函数y=3^4-x²单调递增区间就是函数y=4-x²单调递增区间；
函数y=3^4-x²单调递减区间就是函数y=4-x²单调递减区间；
∴函数y=3^4-x²单调递增区间是（-∞，0），单调递减区间是（0，+∞）．

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已知函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上的最大值是14．（1）求a的值；（2）求函数y=a x2-4的单调区间．试题及答案-单选题-云返教育

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