设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=x²+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．

见解析

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-

，+∞），f^/(x)=

4x²+2x+2b

2x+1

∵函数f（x）是增函数，∴f^/(x)=

4x²+2x+2b

2x+1

≥0在（-

，+∞）上恒成立，
∴4x²+2x+2b≥0在（-

，+∞）上恒成立，即b≥-2x²-x在（-

，+∞）上恒成立
又∵-2x²-x≤

，当且仅当x=-

时，等号成立，∴b≥

（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x²+ln（2x+1）
设函数g（x）=f（x）-x=x²-x+ln（2x+1），则g（x）的定义域也是（-

，+∞），并且g^/(x)=

4x²+1

2x+1

＞0
∴g（x）在整个定义域（-

，+∞）上是增函数．
∴对任意的正整数n，有g（n）＞g（0）恒成立
即对任意的正整数n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．

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