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  • 已知函数f(x)=ax+x-2x+1（a＞1），求证：（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；（2）方程f（x）=0没有负数根．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=ax+
      x-2
      x+1
      （a＞1），求证：
      （1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
      （2）方程f（x）=0没有负数根．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）设-1＜x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=ax1+
      x1-2
      x1+1
      -ax2-
      x2-2
      x2+1

      =      ax1-ax2+
      x1-2
      x1+1
      -
      x2-2
      x2+1
      =ax1-ax2+
      3(x1-x2)
      (x1+1)(x2+1)
      ，
      ∵-1＜x      1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＜0，
      ∴
      3(x1-x2)
      (x1+1)(x2+1)
      ＜0；
      ∵-1＜x      1＜x2，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
      （2）假设x      0是方程f（x）=0的负数根，且x0≠-1，则ax0+
      x0-2
      x0+1
      =0，
      即      ax0=
      2-x0
      x0+1
      =
      3-(x0+1)
      x0+1
      =
      3
      x0+1
      -1，①
      当-1＜x      0＜0时，0＜x0+1＜1，∴
      3
      x0+1
      ＞3，
      ∴
      3
      x0+1
      -1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
      当x      0＜-1时，x0+1＜0，∴
      3
      x0+1
      ＜0，∴
      3
      x0+1
      -1＜-1，而ax0＞0．
      ∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．
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