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  • 在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数1xf(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-1√1+x．（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；（2）设x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜12|x1-x2|；（3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤1√1+x≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数
      1
      x
      f(x)为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”．已知函数f（x）=1-
      1
      √1+x
      ．
      （1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”；
      （2）设x      1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，证明：|f（x2）-f（x1）|＜
      1
      2
      |x1-x2|；
      （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
      1
      √1+x
      ≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）显然f（x）在区间上为增函数（0，1]，
      因为
      1
      x
      f(x)=
      1
      x
      (1-
      1
      √1+x
      )=
      1
      x
      √1+x
      -1
      √1+x
      =
      1
      x
      √1+x
      -1
      √1+x
      =
      1
      x
      ?
      x
      √1+x
      (
      √1+x
      +1)
      =
      1
      1+x+
      √1+x
      ，
      所以
      1
      x
      f(x)在区间（0，1]上为减函数．
      所以f（x）在区间（0，1]上为“弱增函数”．

      （2）证法1：要证|f（x      2）-f（x1）|＜
      1
      2
      |x1-x2|，不妨设0≤x1＜x2，
      由f（x）=1-
      1
      √1+x
      在[0，+∞）单调递增，
      得f（x      2）＞f（x1），
      那么只要证f（x      2）-f（x1）＜
      1
      2
      (x2-x1)，
      即证f（x      2）-
      1
      2
      x2＜f（x1）-
      1
      2
      x1．
      令g（x）=f（x）-
      1
      2
      x，则问题转化为只要证明g（x）=f（x）-
      1
      2
      x在[0，+∞）单调递减即可．
      事实上，g（x）=f（x）-
      1
      2
      x=1-
      1
      √1+x
      -
      1
      2
      x，
      当x∈[0，+∞）时，g′（x）=
      1
      2
      √1+x
      -
      1
      2
      ≤0，
      所以g（x）=f（x）-
      1
      2
      x在[0，+∞）单调递减，
      故命题成立．
      证法2：|f（x      2）-f（x1）|=|
      1
      √1+x2
      -
      1
      √1+x1
      |=
      |
      √1+x1
      -
      √1+x2
      |
      √1+x2
      √1+x1

      =
      |x1-x2|
      √1+x2
      √1+x1
      (
      √1+x1
      +
      √1+x2
      )
      ，
      因为x      1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，
      √1+x2
      √1+x1
      (
      √1+x1
      +
      √1+x2
      )＞2，
      所以|f（x      2）-f（x1）|＜
      1
      2
      |x1-x2|．

      （3）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤
      1
      √1+x
      ≤1-bx恒成立．
      当x=0时，不等式显然成立．
      当x∈（0，1]时，等价于
      {
      a≥
      1
      x
      f(x)
      b≤
      1
      x
      f(x)
      恒成立．
      由（1）知
      1
      x
      f(x)为减函数，1-
      √2
      2
      ≤
      1
      x
      f(x)＜
      1
      2
      ，
      所以a≥
      1
      2
      且b≤1-
      √2
      2
      ．
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