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  • 设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调增．（1）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f（m）+f（n）的符号；（3）若f（1）=0解关于x的不等式f[loga（1-x2）+1]＞0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调增．
      （1）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上的单调性；
      （2）若mn＜0且m+n＜0，试判断f（m）+f（n）的符号；
      （3）若f（1）=0解关于x的不等式f[log      a（1-x2）+1]＞0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）在（0，+∞）上也是增函数，证明如下：
      设b＞a＞0，则-b＜-a＜0，∵f（x）在区间（-∞，0）上单调增，
      ∴f（-b）＜f（-a），又 f（x）是奇函数，∴-f（b）＜-f（a），
      即 f（b）＞f（a），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
      （2）∵mn＜0且m+n＜0，不妨设m＜n，则 m＜0，n＞0，|m|＞|n|，
      ∴m＜-n＜0，再由f（x）在区间（-∞，0）上单调增得：f（m）＜f（-n）=-f（n），
      ∴f（m）+f（n）＜0．
      （3）∵f（x）是定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，且它在区间（-∞，0）上单调递增，
      故f（x）在（0，+∞）上也单调递增．
      ∵f（1）=0，∴f（-1）=0，由关于x的不等式f[log      a（1-x2）+1]＞0 可得，
      log      a（1-x2）+1＞1，或-1＜loga（1-x2）+1＜0．
      ∴log      a（1-x2）＞0 ①，或-2＜loga（1-x2）＜-1 ②．
      当a＞1时，
      由①可得1-x      2＞1，不等式无解．
      由②可得 a      -2＜1-x2 ＜a-1，即 1-
      1
      a
      ＜x2＜1-
      1
      a2
      ，
      解得
      √1-
      1
      a
      ＜x＜
      √1 -
      1
      a2
      ，或 -
      √1 -
      1
      a2
      ＜x＜-
      √1-
      1
      a
      ，
      解集为（
      √1-
      1
      a
      ，
      √1 -
      1
      a2
      ）∪（-
      √1 -
      1
      a2
      ，-
      √1-
      1
      a
      ），
      当1＞a＞0时，
      由①得 0＜1-x      2＜1，1＞x2＞0，-1＜x＜0 或 0＜x＜1，故解集为（-1，0）∪（0，1）．
      由②得
      1
      a
      ＜1-x2 ＜
      1
      a2
      ，1-
      1
      a
      ＞x2＞1-
      1
      a2
      ，不等式无解．
      综上，关于x的不等式f[log      a（1-x2）+1]＞0的解集是：
      当a＞1时，解集是 （
      √1-
      1
      a
      ，
      √1 -
      1
      a2
      ）∪（-
      √1 -
      1
      a2
      ，-
      √1-
      1
      a
      ）；
      当1＞a＞0时，解集是（-1，0）∪（0，1）．
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