设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）=f（a）+f（b）求证：（1）f（1）=0；（2）f（1x）=-f（x）；（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设f（x）定义在R₊上，对于任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b）求证：
（1）f（1）=0；
（2）f（

）=-f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．

见解析

证明：（1）由题意知，任意a、b∈R₊，有f（ab）=f（a）+f（b），
令a=b=1代入上式得，f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0．

（2）令a=x∈R₊，b=

代入f（ab）=f（a）+f（b），
得f（1）=f（x）+f（

），
∵f（1）=0，∴f（x）=-f（

）．

（3）设x₁＞x₂＞1，由（2）得f（x₂）=-f（

x₂

），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（

x₂

）=f（

x₁

x₂

），
∵x₁＞x₂＞1，∴

x₁

x₂

＞1，
又∵x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，∴f（

x₁

x₂

）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+???）上是减函数．

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