对定义域是Df．Dg的函数y=f（x）．y=g（x），规定：函数h（x）={f(x)g(x)，当x∈Df且x∈Dgf(x)，当x∈Df且x?Dgg(x)，当x?Df且x∈Dg．（1）若函数f（x）=1x-1，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

对定义域是D_f．D_g的函数y=f（x）．y=g（x），
规定：函数h（x）=

{	f(x)g(x)，当x∈D_f且x∈D_g f(x)，当x∈D_f且x?D_g g(x)，当x?D_f且x∈D_g

．
（1）若函数f（x）=

x-1

，g（x）=x²，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

见解析

解：（1）h（x）=

{

x²

x-1

，x∈(-∝，1)∪(1，+∞)

1，x=1

，．
（2）当x≠1时，h（x）=

x²

x-1

=x-1+

x-1

+2，
若x＞1时，则h（x）≥4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≤0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

则g（x）=f（x+α）=sin2（x+

）+cos2（x+

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+

√2

sin2x，α=

，
g（x）=f（x+α）=1+

√2

sin2（x+π）=1-

√2

sin2x，
于是h（x）=f（x）?f（x+α）=（1+

√2

sin2x）（1-

√2

sin2x）=cos4x．

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