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  • 已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：（cm-ap）2=（bp-cn）（an-bm）．

      试题解答

      见解析
      证明：∵an-bm≠0
      ∴方程ax      2+bx+c=0和方程mx2+nx+p=0有相等的根．
      方程ax      2+bx+c=0可化为x2+
      b
      a
      x+
      c
      a
      =0 ①
      方程mx      2+nx+p=0可化为x2+
      n
      m
      x+
      p
      m
      =0 ②
      把方程①-②可得：（
      b
      a
      -
      n
      m
      ）x+（
      c
      a
      -
      p
      m
      ）=0
      解方程得：
      bm-an
      am
      x+
      cm-ap
      am
      =0
      （bm-an）x+（cm-ap）=0
      x=
      ap-cm
      bm-an

      把x=
      ap-cm
      bm-an
      代入方程ax2+bx+c=0
      得：a      (
      ap-cm
      bm-an
      )2+b（
      ap-cm
      bm-an
      ）+c=0
      a（ap-cm）      2+b（ap-cm）（bm-an）+c（bm-an）2=0
      a（ap-cm）      2+（bm-an）（abp-bcm+bcm-can）=0
      a（ap-cm）      2+a（bm-an）（bp-cn）=0
      ∵a≠0，
      ∴两边同时除以a得到：（ap-cm）      2+（bm-an）（bp-cn）=0
      故（ap-cm）      2=（bp-cn）（an-bm）．
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