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  • 如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、（3）为解答备用图]（1）k= ?，点A的坐标为 ?，点B的坐标为 ?；（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、（3）为解答备用图]
      （1）k=               ?，点A的坐标为         ?，点B的坐标为         ?；
      （2）设抛物线y=x      2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
      （3）在抛物线y=x      2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

      试题解答

      -3:（-1，0）:（3，0）
      解：（1）∵抛物线y=x2-2x+k与y轴交于点C（0，-3），
      ∴k=-3，
      ∴抛物线的解析式为y=x      2-2x-3，
      令y=0，则x      2-2x-3=0，
      ∴（x+1）（x-3）=0，
      ∴x+1=0，x-3=0，
      解得x      1=-1，x2=3，
      ∴点A的坐标为A（-1，0），点B的???标为B（3，0）；
      故答案为：-3，（-1，0），（3，0）；

      （2）如图（1），∵y=x      2-2x-3=（x-1）2-4，
      ∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM，
      则△AOC的面积=
      1
      2
      AO?OC=
      1
      2
      ×1×3=
      3
      2
      ，△MOC的面积=
      1
      2
      OC?|xM|=
      1
      2
      ×3×1=
      3
      2
      ，
      △MOB的面积=
      1
      2
      OB?|yM|=
      1
      2
      ×3×4=6，
      ∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=
      3
      2
      +
      3
      2
      +6=9；
      （说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．）

      （3）如图（2），过点B作BQ      1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C，
      ∵∠CBO=45°，
      ∴∠EBO=45°，BO=OE=3，
      ∴点E的坐标为（0，3），
      ∴直线BE的解析式为y=-x+3，
      由
      {
      y=-x+3
      y=x2-2x-3
      ，
      ?解得
      {
      x1=-2
      y1=5
      ，
      {
      x2=3
      y2=0
      ，
      ∴点Q      1的坐标为（-2，5）；
      如图（3），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q      2、交x轴于点F，连接BQ2，
      ∵∠CBO=45°，
      ∴∠CFB=45°，OF=OC=3，
      ∴点F的坐标为（-3，0），
      ∴直线CF的解析式为y=-x-3，
      由
      {
      y=-x-3
      y=x2-2x-3
      ，
      ?解得
      {
      x1=0
      y1=-3
      ，
      {
      x2=1
      y2=-4
      ，
      ∴点Q      2的坐标为（1，-4）．
      综上，在抛物线上存在点Q      1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
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