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(2013?平谷区一模)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F.(1)求证:ED是⊙O的切线;(2)若AB=10,AD=8,求AF的长.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
(2013?平谷区一模)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠CAB的平分线交⊙O于点D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,连接BC交AD于点F.
(1)求证:ED是⊙O的切线;
(2)若AB=10,AD=8,求AF的长.
试题解答
见解析
证明:(1)ED与⊙O的位置关系是相切.理由如下:
连接OD,
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D,
∴
⌒
CD
=
⌒
BD
,
∴OD⊥BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
即BC⊥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE∥BC,
∴OD⊥DE,
∵OD是⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线.
(2)连接BD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
在直角△ABD中,BD=
√
AB
2
-AD
2
=6,
∵AB为直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
又∵∠AFC=∠BFD,
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD,
∴△FBD∽△BAD,
∴
FD
BD
=
BD
AD
,即
FD
6
=
6
8
,
解得:FD=
9
2
,
∴AF=AD-DF=
7
2
.
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