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  • 如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．（1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是 ；②写出求解过程．（结果用字母表示）试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．
      （1）试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；
      （2）已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是                ；②写出求解过程．（结果用字母表示）

      试题解答

      a、b、c
      解：（1）AE与⊙O相切．（1分）
      理由：连接OC，
      ∵CD∥OA，
      ∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
      又∵OD=OC，
      ∴∠ODC=∠OCD，
      ∴∠AOB=∠AOC．
      ∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
      ∴△AOC≌△AOB（SAS）．
      ∴∠ACO=∠ABO．
      ∵AB与⊙O相切，
      ∴∠ACO=∠ABO=90°．
      ∴OC⊥AE
      ∴AE与⊙O相切．（5分）

      （2）①选择a、b、c，或其中2个．
      ②解答举例：
      若选择a、b、c
      方法一：由CD∥OA，
      a
      c
      =
      b
      r
      ，得r=
      bc
      a
      ．
      方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理（b+2r）      2+c2=（a+c）2，
      得r=
      √a2+2ac
      -b
      2
      ．
      方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，
      a
      r
      =
      b+2r
      c
      ，得r=
      -b+
      √b2+8ac
      4
      ．
      若选择a、b
      方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a      2+r2=（b+r）2，得r=
      a2-b2
      2b
      ；
      方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r=
      a2-b2
      2b
      ．
      若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=
      c
      √a2+2ac
      a+2c
      ．
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