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  • 若函数f（x）满足下列两个性质：①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是[12a，12b]．则我们称f（x）为“内含函数”．（1）判断函数f(x)=√x是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；（2）若函数f(x)=√x-1+t是“内含函数”，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      若函数f（x）满足下列两个性质：
      ①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
      ②在f（x）的定义域内存在某个区间使得f（x）在[a，b]上的值域是[
      1
      2
      a，
      1
      2
      b]．则我们称f（x）为“内含函数”．
      （1）判断函数f(x)=
      √x
      是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
      （2）若函数f(x)=
      √x-1
      +t是“内含函数”，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数y=
      √x
      ，其定义域为[0，+∞），∴函数y=
      √x
      在区间[0，+∞）上是单调增函数．
      设y=
      √x
      在区间[a，b]上的值域是[
      √a
      ，
      √b
      ]．
      由
      {
      √a
      =
      1
      2
      a
      √b
      =
      1
      2
      b
      ，解得
      {
      a=0
      b=4
      ．
      故函数y=
      √x
      是“内含函数”，且a=0，b=4．
      （2）设g（x）=
      √x-1
      +t，其定义域为[1，+∞），且在定义域上单调递增．
      ∵g（x）为“内含函数”，∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足g(a)=
      1
      2
      a，g(b)=
      1
      2
      b．
      即方程g(x)=
      1
      2
      x在区间[1，+∞）内有两个不等实根．
      也即方程
      √x-1
      +t=
      1
      2
      x在区间[1，+∞）内有两个不等实根，令
      √x-1
      =m，则其可化为：
      m+t=
      1
      2
      (1+m2)，即方程m2-2m+（1-2t）=0有两个非负的不等实根x1、x2．
      ∴
      {
      △=4-4(1-2t)＞0
      x1+x2＞0
      x1x2≥0
      解得0＜t≤
      1
      2
      ．
      ∴实数t的取值范围是0＜t≤
      1
      2
      ．
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