已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，在[0，1]上，f（x）=2x+ln（x+1）-1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）（Ⅱ）解不等式f（2x+1）+f（1-x2）≥0．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，在[0，1]上，f（x）=2^x+ln（x+1）-1
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）
（Ⅱ）解不等式f（2x+1）+f（1-x²）≥0．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵在[0，1]上f（x）=2^x+ln（x+1）-1，
∴f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1，
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=2^-x+ln（-x+1）-1=-f（x），
∴f（x）=-2^-x-ln（-x+1）+1，x∈[-1，0]，
∴f(x)=

{	2^x+ln?(x+1)-1，(0≤x≤1) -2^-x-ln?(1-x)+1，(-1≤x＜0)

∵y=2^x，y=ln（x+1），在定义域上为增函数，
∴f（x）在[-1，1]上的单调递增．
（Ⅱ）由f（2x+1）+f（1-x²）≥0，得f（2x+1）≥-f（1-x²）=f（x²-1）．
∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴-f（1-x²）=f（x²-1）．
即不等式等价为f（2x+1）≥f（x²-1）．
∵f（x）在[-1，1]上的单调递增．
∴

{	-1≤2x+1≤1 -1≤x²-1≤1 2x+1≥x²-1

，即

{	-1≤x≤0 0≤x²≤ √2 x²-2x-2≤0

，
∴

{	-1≤x≤0 - √2 ≤x≤ √2 1- √3 ≤x≤1+ √3

，解得-1≤x≤0．
故不等式的解集为[-1，0]．

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已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，在[0，1]上，f（x）=2x+ln（x+1）-1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；并判断f（x）在[-1，1]上的单调性（不要求证明）（Ⅱ）解不等式f（2x+1）+f（1-x2）≥0．试题及答案-单选题-云返教育

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