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  • 已知函数f（x）=px2+23x+q是奇函数，且f（2）=53（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并应用单调性的定义加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      px2+2
      3x+q
      是奇函数，且f（2）=
      5
      3

      （Ⅰ）求p，q的值；
      （Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性，并应用单调性的定义加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由题意可得f（-x）+f（x）=0，即
      px2+2
      q-3x
      +
      px2+2
      q+3x
      =0，求得 q=0．
      再由f（2）=
      5
      3
      =
      p?22+2
      6+0
      ，解得 p=2．
      综上可得，p=2，q=0．
      （Ⅱ）由上可得，f（x）=
      2x2+2
      3x
      =
      2
      3
      （x+
      1
      x
      ），函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
      证明：设x      1＜x2＜-1，则f（x1）-f（x2）=
      2
      3
      [（x1+
      1
      x1
      ）-（x2+
      1
      x2
      ）]=
      2
      3
      （x1-x2）（
      x1?x2-1
      x1?x2
      ）．
      由题设可得 （x      1-x2）＜0，x1?x2＞1，故有f（x1）-f（x2）＜0，
      故函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
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