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  • 已知函数f（x）=1a-1x（a＞0，x＞0）（Ⅰ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义加以证明；（Ⅱ）若f（x）在[12，2]上的值域是[12，2]，求实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      1
      a
      -
      1
      x
      （a＞0，x＞0）
      （Ⅰ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用函数单调性定义加以证明；
      （Ⅱ）若f（x）在[
      1
      2
      ，2]上的值域是[
      1
      2
      ，2]，求实数a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，下面用定义证明
      证明：任取0＜x      1＜x2，则f（x1）-f（x2）=
      1
      a
      -
      1
      x1
      -（
      1
      a
      -
      1
      x2
      ）=
      1
      x2
      -
      1
      x1
      =
      x1-x2
      x1x2
      ，
      又∵0＜x      1＜x2，
      ∴0＜x      1x2，x1-x2＜0，
      ∴
      x1-x2
      x1x2
      ＜0，
      即f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增…（8分）
      （Ⅱ）∵f（x）在[
      1
      2
      ，2]上单调递增，
      ∴f（
      1
      2
      ）=
      1
      2
      ，f（2）=2，
      则
      {
      1
      a
      -2=
      1
      2
      1
      a
      -
      1
      2
      =2
      ，解得a=
      2
      5
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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