已知函数f（x）=lg（x2+tx+1），（t为常数，且t＞-2）（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=lg（x²+tx+1），（t为常数，且t＞-2）
（1）当x∈[0，2]时，求f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的实数a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2），若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

见解析

（1）令g（x）=x²+tx+1，对称轴方程为x=-

，
∵x∈[0，2]，∴由对称轴x=-

与区间[0，2]的位置关系进行分类讨论：
①当-

≤0，即t≥0时，g（x）min=g（0）=1，∴f（x）min=0．
②当0＜-

＜2，即-4＜t＜0时，g（x）min=g（-

）=1-

，
考虑到g（x）＞0，所以-2＜t＜0，f（x）min=f（-

）=lg（1-

）；
③当-

≥2，即t≤-4时，g（x）min=g（2）=5+2t，
考虑到g（x）＞0，∴f（x）没有最小值．
综上所述：当t≤-2时f（x）没有最小值；
当t＞-2时，f（x）_min=

．
???2）假设存在．
由题设条件，得

，
等价于x²+tx+1=x在区间（0，2）上有两个不同的实根，
令h（x）=x²+（t-1）x+1在（0，2）上有两个不同的零点
∴

，即

，
解得-

＜t＜-1．
故实数t的取值范围是（-

，-1）．

标签