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  • 设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|f(x)|≤54．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，试证明：对于任意-1≤x≤1，有|f(x)|≤
      5
      4
      ．

      试题解答

      见解析
      证明：∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
      ∴a=
      1
      2
      [f（1）+f（-1）]-f（0），b=
      1
      2
      [f（1）-f（-1）]，c=f（0）
      把它们代入到函数表达式里，再化简，得
      |f（x）|=|
      1
      2
      [（x2+x）f（1）]+
      1
      2
      [（x2-x）f（-1）]+（1-x2）f（0）|≤|
      x2+x
      2
      ||f（1）|+|
      x2-x
      2
      ||f（-1）|+|1-x2||f（0）|
      ≤|
      x2+x
      2
      |+|
      x2-x
      2
      |+|1-x2|=|
      x2+x
      2
      |+|
      x2-x
      2
      |+1-x2，
      当x≤0时，|
      x2+x
      2
      |+|
      x2-x
      2
      |+1-x2=-x2-x+1≤
      5
      4

      当x＞0时，|
      x2+x
      2
      |+|
      x2-x
      2
      |+1-x2=-x2+x+1≤
      5
      4
      ．
      综上所述，|f(x)|≤
      5
      4
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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