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  • 已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=logax，g（x）=2loga（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
      （1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
      （2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当t=4时，
      F（x）=g（x）-f（x）=log      a
      (2x+2)2
      x
      ，x∈[1，2]，
      令h（x）=
      (2x+2)2
      x
      =4(x+
      1
      x
      +2)，x∈[1，2]，
      设u=x+
      1
      x
      ，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知
      u（x）=x+
      1
      x
      在[1，2]上为单调增函数．
      ∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，
      ∴h（x）      min=16，h（x）max=18．
      当0＜a＜1时，有F（x）      min=loga18，
      令log      a18=2，求得a=3
      √2
      ＞1（舍去）；
      当a＞1时，有F（x）      min=loga16，
      令log      a16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
      （2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，
      即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，
      log      ax≥2loga（2x+t-2）恒成立，
      由log      ax≥2loga（2x+t-2）可得
      log      a
      √x
      ≥loga（2x+t-2），
      ∴
      √x
      ≤2x+t-2，∴t≥-2x+
      √x
      +2．
      设u（x）=-2x+
      √x
      +2=-2（
      √x
      ）2+
      √x
      +2=-2(
      √x
      -
      1
      4
      )2+
      17
      8
      ，
      ∵x∈[1，2]，∴
      √x
      ∈[1，
      √2
      ]．
      ∴u（x）      max=u（1）=1．
      ∴实数t的取值范围为t≥1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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