若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有f(x1)-(x2)x1-x2＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=x+1；（2）f（x）=x2；（3）f（x）=-x；（4）f(x)={-x2，x≥0x2，x＜0，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．试题及答案-单选题-云返教育

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若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x₁)-(x₂)

x₁-x₂

＜0，则称函数f（x）为“理想函数”．
给出下列四个函数中：
（1）f（x）=x+1；
（2）f（x）=x²；
（3）f（x）=-x；
（4）f(x)=

{	-x²，x≥0 x²，x＜0

，
能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．

试题解答

③④

解：若f（x）是“理想函数”，则满足以下两条：
①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），表明函数f（x）是奇函数；
②对于定义域上的任意x₁，x₂，当x₁≠x₂时，恒有

f(x₁)-(x₂)

x₁-x₂

＜0，即（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，∴x₁-x₂与f（x₁）-f（x₂）异号，即函数f（x）是单调递减函数．即f（x）为定义域上的单调递减的奇函数．
据此可判断出：
（1）由f（x）=x+1单调递增，因此不是“理想函数”；
（2）f（x）=x²不是奇函数，因此不是“理想函数”；
（3）f（x）=-x，在R上既是奇函数，又是单调递减函数，因此是“理想函数”；
（4）f(x)=

{	-x²，x≥0 x²，x＜0

，在R上既是奇函数，又是单调递减函数，因此是“理想函数”．
综上可知：能被称为“理想函数”的只有（3）（4）．
故答案为：（3）（4）．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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