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已知定义在R上的函数f（x）=2x+a2x，（1）若 f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

a

2^x

，
（1）若 f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）若 f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即2^-x+

a

2^-x

=2^x+

a

2^x

，
∴2^-x+a?2^x=2^x+a?2^-x，
又对任意的x∈R都成立，
∴a=1．
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则设0≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f(x₁)-f(x₂)=2^x₁+

a

2^x₁

-2^x₂-

a

2^x₂

=(2^x₁-2^x₂)(1-

a

2^x₁?2^x₂

)＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2^x₁-2^x₂＜0，
即1-

a

2^x₁?2^x₂

＞0，
∴a＜2^x₁?2^x₂=2^x₁+x₂，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2^x₁+x₂＞1，
即a≤1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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