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  • 已知函数f(x)=ln2-xa+x是奇函数，（1）求a的值；（2）求函数f（x）的定义域；（3）求证f（x）在定义域上是单调减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=ln
      2-x
      a+x
      是奇函数，
      （1）求a的值；
      （2）求函数f（x）的定义域；
      （3）求证f（x）在定义域上是单调减函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=ln
      2-x
      a+x
      是奇函数，∴f（x）=-f（-x），
      即ln
      2-x
      a+x
      =-ln
      2+x
      a-x
      =ln
      a-x
      2+x
      ，则
      2-x
      a+x
      =
      a-x
      2+x
      ，化简得：4-x2=a2-x2，
      解得a=±2，当a=-2时，f（x）=ln（-1）故舍去，故a=2．
      （2）由（1）知，a=2故f（x）=ln
      2-x
      2+x
      ，
      要使函数有意义，则
      2-x
      2+x
      ＞0，即（2-x）（2+x）＞0，
      解得，-2＜x＜2；故函数f（x）的定义域（-2，2）．
      （3）证明：任取实数x      1，x2∈（-2，2），且x1＜x2，
      ∴
      2-x1
      2+x1
      -
      2-x2
      2+x2
      =
      (2-x1)(2+x2)-(2-x2)(2+x1)
      (2+x1)(2+x2)
      =
      4(x2-x1)
      (2+x1)(2+x2)
      ；
      ∵x      1，x2∈（-2，2），x1＜x2；
      ∴2+x      1＞0，2+x2＞0；x2-x1＞0，
      ∴
      2-x1
      2+x1
      -
      2-x2
      2+x2
      ＞0，即
      2-x1
      2+x1
      ＞
      2-x2
      2+x2
      ，
      ∵函数y=lnx在定义域内时增函数，∴f（x      1）＞f（x2），
      ∴f（x）在定义域（-2，2）上是单调减函数．
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