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  • 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．（1）求证C1E∥平面A1BD；（2）求证AB1⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1-C1DE的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D、E分别为CC1、A1B1的中点．
      （1）求证C      1E∥平面A1BD；
      （2）求证AB      1⊥平面A1BD；
      （3）求三棱锥A      1-C1DE的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设AB1与A1B相交于F，连EF，DF．则EF为△AA1B1的中位线，∴EF∥=
      1
      2
      A1A．
      ∵C      1D∥=
      1
      2
      A1A，∴EF∥=C1D，则四边形EFDC1为平行四边形，∴DF∥C1E．
      ∵C      1E?平面A1BD，DF?平面A1BD，∴C1E∥平面A1BD．
      （2）取BC的中点H，连接AH，B      1H，
      由正三棱柱ABC-A      1B1C1，知AH⊥BC，
      ∵B      1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AH．∵B1B∩BC=B，∴AH⊥平面B1BCC1．∴AH⊥BD．
      在正方形B      1BCC1中，∵tan∠BB1H=tan∠CBD=
      1
      2
      ，∴∠BB1H=∠CBD．则B1H⊥BD．
      ∵AH⊥∩B      1H=H，∴BD⊥平面AHB1．∴BD⊥AB1．
      在正方形A      1ABB1中，∵A1B⊥AB1．而A1B∩BD=B，∴AB1⊥平面A1BD．
      （3）∵E为AB的中点，∴      VA1-C1DE=VD-A1EC1=
      1
      2
      VD-A1B1C1=
      1
      2
      ×
      1
      3
      ×
      √3
      4
      ×22×1=
      √3
      6
      ．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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