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  • 在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；（2）求多面体ABCDE的体积；（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
      （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
      （2）求多面体ABCDE的体积；
      （3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

      试题解答

      见解析
      解：如图，（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，
      设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
      连接FH，则FH∥
      1
      2
      ED，且FH=
      1
      2
      ED．
      ∴FH∥=AB，
      ∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，
      由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，∴BF∥平面ACD；
      （2）取AD中点G，连接CG，CG⊥AD．
      ∵AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB
      又CG⊥AD，AB∩AD=A，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C-ABED的高，
      在等边三角形ACD中，CG=
      √22-12
      =
      √3
      ．
      SABED=
      1
      2
      (1+2)×2=3．
      ∴V      C-ABED=
      1
      3
      S△AED?
      √3
      =
      1
      3
      ×3×
      √3
      =
      √3
      ．
      （3）连接EG，由（2）有CG⊥平面ABED，
      ∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角，设为α，
      又在等腰直角三角形CDE中，CE=
      √2
      DE=2
      √2
      ，
      则在Rt△CEG中，有sinα=
      CG
      CE
      =
      √3
      2
      √2
      =
      √6
      4
      ．
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