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  • 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．
      （1）求椭圆E的标准方程；
      （2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
      （3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足      ，试证明点H恒在一定直线上．

      试题解答

      见解析
      （1）由题意可得，解得，c=1，
      所以椭圆E：      ．
      （2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为      ，
      设P（3，y      ），Q（x1，y1），
      因为PF      2⊥F2Q，所以，
      所以-y      1y=2（x1-1）
      又因为      且代入化简得．
      即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值      ．
      （3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x      1，y1），N（x2，y2???，点H（x，y），
      则      ，．
      设      ，则，
      ∴（3-x      1，3-y1）=-λ（x2-3，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）
      整理得      ，，
      ∴从而      ，
      由于      ，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．
      ∴      ，
      所以点H恒在直线2x+3y-2=0上．
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