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  • 若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；（3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      若椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合．
      （1）求椭圆C的方程；
      （2）设点M（2，0），点Q是椭圆上一点，当|MQ|最小时，试求点Q的坐标；
      （3）设P（m，0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点，过P点斜率为k的直线l交椭圆与A，B两点，若|PA|      2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，求k的值．

      试题解答

      见解析
      （1）由题意可得：抛物线y2=-12x的焦点（-3，0），
      ∵      =，∴a=5，∴=4
      ∴椭圆C的方程为      ；
      （2）设Q（x，y），-5≤x≤5
      ∴|MQ|      2=（x-2）2+y2=
      ∵对称轴为x=      ＞5，∴x=5时，|MQ|2取得最小值
      ∴当|MQ|最小时，点Q的坐标为（5，0）；
      （3）设A（x      1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x-m）
      直线代入椭圆方程，消???y可得（25k      2+16）x2-50mk2x+25m2k2-400=0
      ∴x      1+x2=，x1x2=
      ∴y      1+y2=k（x1+x2）-2km=-，y1y2=
      ∴|PA|      2+|PB|2=+=（k2+1）?
      ∵|PA|      2+|PB|2的值仅依赖于k而与m无关，
      ∴512-800k      2=0，解得k=．
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