已知曲线E上任意一点P到两个定点F1(-√3，0)和F2(√3，0)的距离之和为4．（1）求曲线E的方程；（2）设过点（0，-2）的直线l与曲线E交于C，D两点，若以CD为直径的圆恰好经过原点O．求直线l的方程．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知曲线E上任意一点P到两个定点F₁(-

√3

，0)和F₂(

√3

，0)的距离之和为4．
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点（0，-2）的直线l与曲线E交于C，D两点，若以CD为直径的圆恰好经过原点O．求直线l的方程．

见解析

解：（1）由椭圆的定义可得曲线E为椭圆，且 a=2，c=

√3

，∴b=1，故椭圆的方程为

x²

y²

=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意，设直线l的方程为 y=kx-2，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
由于以CD???直径的圆恰好经过原点O，∴

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0 ①．
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得（1+4k²） x²-16kx+12=0．
由△＞0可得 k²＞

，又 x₁+x₂=

16k

1+4k²

，x₁x₂=

1+4k²

，
代入①得(1+k²)

1+4k²

-2k?

16k

1+4k²

+4=0，
∴k=2 或-2，均满足 k²＞

．
直线l的方程为2x-y-2=0，2x+y+2=0．

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