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  • 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得|PF1+PF2|=|F1F2|成立，则离心率的取值范围为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得|
      PF1
      +
      PF2
      |=|
      F1F2
      |成立，则离心率的取值范围为          ．

      试题解答

      [
      √2
      2
      ，1)
      解：设
      PF 1
      ，
      PF 2
      ，
      F 1F 2
      的模分别为m，n，2c，椭圆的长轴长为2a，∠F1PF2=θ
      则由题中条件可知，（两边平方），
      m      2+n2+2mncosθ=4c2，2mncosθ=4c2-m2-n2；
      又在△F      1PF2中，由余弦定理得，
      2mncosθ=m      2+n2-4c2，
      ∴m      2+n2-4c2=0
      4c      2=m2+n2≥
      1
      2
      （m+n）2=2a2，即2c2≥a2
      ∴（
      c
      a
      ）2≥1/2，离心率e=
      c
      a
      ≥
      √2
      2
      ，
      又0＜e＜1，
      ∴
      √2
      2
      ≤e＜1．
      故答案为：[
      √2
      2
      ，1)
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      选修1-1人教A版填空题高中数学

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