• 已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为3π4,且m?n=-1(1)求向量n;(2)若向量n与向量q=(1,0)的夹角为π2,而向量p=(cosx,2cos2(π3-x2)),其中0<x<2π3,试求|n+p|的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育

    • 试题详情

      已知向量
      m
      =(1,1),向量
      n
      与向量
      m
      的夹角为
      4
      ,且
      m
      ?
      n
      =-1
      (1)求向量
      n

      (2)若向量
      n
      与向量
      q
      =(1,0)的夹角为
      π
      2
      ,而向量p=(cosx,2cos2(
      π
      3
      -
      x
      2
      )),其中0<x<
      3
      ,试求|
      n
      +
      p
      |的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(1)令
      n
      =(a,b),则由
      m
      ?
      n
      =-1得a+b=-1①
      由向量
      n
      与向量
      m
      的夹角为
      4
      ,得a2+b2=1②
      由①②解得
      {
      a=-1
      b=0
      {
      a=0
      b=-1

      n
      =(-1,0)或
      n
      =(0,-1),
      (2)由向量
      n
      与向量
      q
      的夹角为
      π
      2

      n
      =(0,-1),
      n
      +
      p
      =(cosx,2cos2(
      π
      3
      -
      x
      2
      )-1)=(cosx,cos(
      3
      -x)),
      ∴|
      n
      +
      p
      |2=cos2x+cos2(
      3
      -x)=
      1+cos2x
      2
      +
      1+cos(
      3
      -2x)
      2

      =1+
      1
      2
      [cos2x+cos(
      3
      -2x)]=1+
      1
      2
      cos(
      π
      3
      +2x)
      ∵0<x<
      3

      π
      3
      π
      3
      +2x<
      3

      ∴-1≤cos(
      π
      3
      +2x)≤
      1
      2

      1
      2
      ≤1+
      1
      2
      cos(2x+
      π
      3
      )<
      5
      4

      ∴|
      n
      +
      p
      |∈[
      2
      2
      5
      2
      ).
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