试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 数列{an}中，a1=12， an+1=nan(n+1)(nan+1)(n∈N*)，其前n项的和为Sn．求证：nΣi=1(1-SiSi+1)1√Si+1＜2(√2-1)．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      数列{an}中，a1=
      1
      2
      ， an+1=
      nan
      (n+1)(nan+1)
      (n∈N*)，其前n项的和为Sn．
      求证：      nΣi=1(1-
      Si
      Si+1
      )
      1
      √Si+1
      ＜2(
      √2
      -1)．

      试题解答

      见解析
      证明：假设bn=
      1
      nan
      ，∴bn+1=
      1
      (n+1)an+1

      ∵      an+1=
      nan
      (n+1)(nan+1)
      ，
      ∴      bn+1-bn=
      1
      (n+1)an+1
      -
      1
      nan
      =
      1
      (n+1)
      nan
      (n+1)(nan+1)
      -
      1
      nan
      =
      nan+1
      nan
      -
      1
      nan
      =1（3分）
      ∴{b      n}是首项为2，公差为1的等差数列．（4分）
      ∵b      n=2+（n-1）?1=n+1，∴an=
      1
      nbn
      =
      1
      n(n+1)
      =
      1
      n
      -
      1
      n+1
      ，（6分）
      ∴      Sn=(1-
      1
      2
      )+(
      1
      2
      -
      1
      3
      )++(
      1
      n
      -
      1
      n+1
      )=1-
      1
      n+1
      =
      n
      n+1

      ∵
      Si
      Si+1
      =
      i(i+2)
      (i+1)2
      =
      i2+2i
      i2+2i+1
      ＜1∴(1-
      Si
      Si+1
      )
      1
      √Si+1
      =(
      1
      Si
      -
      1
      Si+1
      )
      Si
      √Si+1
      =(
      1
      √Si
      -
      1
      √Si+1
      )(
      1
      √Si
      +
      1
      √Si+1
      )
      Si
      √Si+1

      =(
      1
      √Si
      -
      1
      √Si+1
      )(
      √Si
      √Si+1
      +
      Si
      Si+1
      )＜2(
      1
      √Si
      -
      1
      √Si+1
      )
      ∴      nΣi=1(1-
      Si
      Si+1
      )
      1
      √Si+1
      ＜2[(
      1
      √S1
      -
      1
      √S2
      )+(
      1
      √S2
      -
      1
      √S3
      )+(
      1
      √Sn
      -
      1
      √Sn+1
      )]=2(
      1
      √S1
      -
      1
      √Sn+1
      )=2(
      √2
      -
      √
      n+2
      n+1
      )＜2(
      √2
      -1)．（15分）
      标签
      必修5人教B版解答题高中数学

    数列递推式相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn