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  • 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N*）
      （1）求数列{a      n}的通项公式；
      （2）若b      n=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵Sn=2an-n，∴a1=1，
      ∵S      n=2an-n，Sn-1=2an-1-（n-1），n≥2，n∈N+，
      两式相减，得a      n=2an-1+1，
      ∴a      n+1=2（an-1+1），n≥2，n∈N+，
      ∵a      1+1=2，∴{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
      ∴a      n+1=2n，
      ∴a      n=2n-1．
      （2）∵b      n=（2n+1）an+2n+1，
      ∴b      n=（2n+1）?2n，
      ∴T      n=3×2+5×22+7×23+…+（2n-1）×2n-1+（2n+1）?2n，
      2T      n=3×22+5×23+…+（2n-1）?2n+1，
      ∴①-②得：-T      n=3×2+2（22+23+…+2n）-（2n+1）?2n+1
      =6+2×
      22(1-2n-1)
      1-2
      -(2n+1)?2n+1
      =-2+2      n+2-（2n+1）?2n+1=-2-（2n-1）?2n+1，
      ∴T      n=2+（2n-1）?2n+1．
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