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  • 在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+1n） an+n+122（n∈N*）（Ⅰ）若bn=ann，试求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，试求Sn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
      1
      n
      ） an+
      n+1
      22
      （n∈N*）
      （Ⅰ）若b      n=
      an
      n
      ，试求数列{bn}的通项公式；
      （Ⅱ）设数列{a      n}的前n项和为Sn，试求Sn．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由bn=
      an
      n
      知，bn+1=
      an+1
      n+1
      =
      an
      n
      +
      1
      2n
      =bn+
      1
      2n
      ，
      ∴      bn+1-bn=
      1
      2n
      （1分）
      ∴      b2-b1=
      1
      2
      ，b3-b2=
      1
      22
      ，b4-b3=
      1
      23
      ，b5-b4=
      1
      24
      ，，bn-bn-1=
      1
      2n-1
      （3分）
      ∴      bn=1+
      1
      2
      +
      1
      22
      +
      1
      23
      +
      1
      24
      ++
      1
      2n-1
      =2(1-
      1
      2n
      )（6分）
      （Ⅱ）      an=(2-
      1
      2n-1
      )n，an的前n项和Sn=2（1+2++n)-(1+
      2
      2
      +
      3
      22
      +
      4
      23
      ++
      n
      2n-1
      ）（7分）
      令T       n=1+
      2
      2
      +
      3
      22
      +
      4
      23
      ++
      n
      2n-1

      则
      1
      2
      T n=
      1
      2
      +
      2
      22
      +
      3
      23
      +
      4
      24
      ++
      n
      2n
      1
      2
      T n=1+
      1
      2
      +
      1
      22
      +
      1
      23
      ++
      1
      2n-1
      -
      n
      2n
      =2(1-
      1
      2n
      )-
      n
      2n

      ∴      Tn=4-
      n+2
      2n-1
      （11分）
      ∴      Sn=n(n+1)+
      n+2
      2n-1
      -4（13分）
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