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  • 已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=an-f(an)f′(an)（I）证明：数列{an-2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（II）令bn=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a1=3，an+1=an-
      f(an)
      f′(an)

      （I）证明：数列{a      n-2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
      （II）令b      n=nan，求数列{bn}的前n项和Sn．

      试题解答

      见解析
      解：（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-
      f(an)
      f′(an)
      ，
      可得      an+1-
      (an-2)2
      2(an-2)
      =
      1
      2
      an+1，
      an+1-2=(
      1
      2
      an+1)-2=
      1
      2
      an -1=
      1
      2
      (an-2)，
      ∴{a      n-2}是以a1-2=1为首项，公比为
      1
      2
      的等比数列，
      ∴      an-2=(a1-2) (
      1
      2
      )n-1，
      ∴      an=(
      1
      2
      )n-1+2．
      （Ⅱ）由题意      bn=nan=
      n
      2n-1
      +2n，
      则      Sn=(
      1
      20
      +
      2
      2
      +
      3
      22
      +…+
      n
      2n-1
      )+n2+n（9分）
      令      Tn=
      1
      20
      +
      2
      2
      +
      3
      22
      +…+
      n
      2n-1
      ①
      ①×
      1
      2
      得：
      1
      2
      Tn=
      1
      2
      +
      2
      22
      +
      3
      23
      +…+
      n
      2n
      ②
      ①-②得：
      1
      2
      Tn=1+
      1
      2
      +
      1
      22
      +…+
      1
      2n-1
      -
      n
      2n

      =
      1-
      1
      2n
      1-
      1
      2
      -
      n
      2n
      =2（1-
      1
      2n
      ）-
      n
      2n
      ，
      即      Tn=4(1-
      1
      2n
      ) -
      2n
      2n
      =4-
      n+2
      2n-1
      （12分）
      所以      Sn=Tn+n2+n=4-
      n+2
      2n-1
      +n2+n（13分）
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