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  • 函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f(x1+x22) ≤12[f(x1) +f(x2) ]则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；②f（x2）在[1，√3]上具有性质P；③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f(x1+x2+x3+x44) ≤14[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]其中真命题的序号是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有f(
      x1+x2
      2
      ) ≤
      1
      2
      [f(x1) +f(x2) ]则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
      ①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
      ②f（x      2）在[1，
      √3
      ]上具有性质P；
      ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
      ④对任意x      1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f(
      x1+x2+x3+x4
      4
      ) ≤
      1
      4
      [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]
      其中真命题的序号是（　　）

      试题解答

      D
      解：在①中，反例：f（x）=
      {
      (
      1
      2
      )x，1≤x＜3
      2，x=3
      在[1，3]上满足性质P，
      但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故①不成立；
      在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x      2）=-x2在[1，
      √3
      ]上不满足性质P，
      故②不成立；
      在③中：在[1，3]上，f（2）=f（
      x+(4-x)
      2
      ）≤
      1
      2
      [f(x)+f(4-x)]，
      ∴
      {
      f(x)+f(4-x)≥2
      f(x)≤f(x)max=f(2)=1
      f(4-x)≤f(x)max=f(2)=1
      ，
      故f（x）=1，
      ∴对任意的x      1，x2∈[1，3]，f（x）=1，
      故③成立；
      在④中，对任意x      1，x2，x3，x4∈[1，3]，
      有f(
      x1+x2+x3+x4
      4
      )=f(
      1
      2
      (x1+x2)+
      1
      2
      (x3+x4)
      2
      )
      ≤
      1
      2
      [f(
      x1+x2
      2
      )+f(
      x3+x4
      2
      )]
      ≤
      1
      2
      [
      1
      2
      (f(x1 )+f(x2))+
      1
      2
      (f(x3)+f(x4))]
      =
      1
      4
      [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，

      ∴f(
      x1+x2+x3+x4
      4
      ) ≤
      1
      4
      [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]，
      故④成立．
      故选D．
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      选修2-2北师大版单选题高中数学

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