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  • 已知函数f(x)=a(x-1)x2，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      a(x-1)
      x2
      ，其中a＞0．
      （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）设g（x）=xlnx-x      2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵函数f(x)=
      a(x-1)
      x2
      ，
      ∴      f′(x)=
      ax2-2ax(x-1)
      x4
      =
      2a-ax
      x3
      ，
      ∵a＞0，
      ∴由      f′(x)=
      2a-ax
      x3
      ＞0，
      得
      {
      2a-ax＞0
      x3＞0
      ，或
      {
      2a-ax＜0
      x3＜0
      ，
      ∴0＜x＜2，或无解，
      ∴函数f（x）的单调增区间为（0，2）．
      由      f′(x)=
      2a-ax
      x3
      ＜0，
      得
      {
      2a-ax＜0
      x3＞0
      ，或
      {
      2a-ax＞0
      x3＜0
      ，
      ∴x＞2或x＜0．
      ∴函数f（x）的单调减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
      （Ⅱ）∵f(x)=
      a(x-1)
      x2
      ，g（x）=xlnx-x2f（x），，
      ∴g（x）=xlnx-a（x-1），
      ∴g'（x）=lnx+1-a，
      当0＜a≤1时，g'（x）≥0，g（x）是增函数，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
      当a≥2时，g'（x）≤0，g（x）是减函数，最大值是g（1）=0；
      当1＜a＜2时，g（x）先减后增，最大值是g（1）或g（e）．
      设g（1）＞g（e），即 e-a（e-1）＜0，即 a＞
      e
      e-1
      ，
      所以若
      e
      e-1
      ＜a＜2 时，最大值是g（1），
      若1＜a＜
      e
      e-1
      ，最大值是g（e）．
      综上，0＜a＜
      e
      e-1
      时，最大值是g（e）=e-a（e-1）；
      e
      e-1
      ＜a＜2 时，最大值是g（1）=0．
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