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  • 已知函数f（x）=（x-a）2ex，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）对任意的x∈（-∞，1]，不等式f（x）≤4e恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程f′(x)ex=12(t-2)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=（x-a）2ex，a∈R．
      （1）求f（x）的单调区间；
      （2）对任意的x∈（-∞，1]，不等式f（x）≤4e恒成立，求a的取值范围；
      （3）求证：当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程
      f′(x)
      ex
      =
      1
      2
      (t-2)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′（x）=2（x-a）ex+（x-a）2ex，
      =（x-a）[x-（a-2）]e      x．…2分
      令f′（x）=0，得x      1=a-2，x2=a．
      当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下：
      x （-∞，a-2） a-2 （a-2，a） a （a，+∞）
      f′（x） + 0 - 0 +
      f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
      所以f（x）的单调递增区间是（-∞，a-2），（a，+∞），
      单调递减区间是（a-2，a）．…6分
      （2）由（Ⅰ）得[f（x）]      极大=f（a-2）=4ea-2．
      ①当a≤1时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2）或f（1），
      由
      {
      a≤1
      f(a-2)=4ea-2≤4e
      ，f（1）=（a-1）?2e≤4e，解得-1≤a≤1；
      ②当a-2≤1＜a，即1＜a≤3时，f（x）在（-∞，1]上的最大值为f（a-2），
      此时f（a-2）=4e      a-2≤4e3-2=4e；
      ③当a-2＞1，即a＞3时，f（1）=（a-1）2e＞4e，f（x）≤4e不恒成立．
      综上，a的取值范围是[-1，3]．…12分
      （III）∵f′（x）=x（x-2）e      x，
      f′(x)
      ex
      =
      1
      2
      (t-2)2，
      ∴x       2-2x=
      1
      2
      (t-2)2，
      令g（x）=      x2-2x-
      1
      2
      (t-2)2，
      从而问题转化为证明当2＜t＜6时，
      函数g(x)=x      2-2x-
      1
      2
      (t-2)2在[-2，t]与x轴有两个不同的交点，
      ∵g（-2）＞0，g（t）＞0，g（0）＜0，
      ∴g（x）=0在[-2，t]上有解，且有两解．
      所以，当a=2，2＜t＜6时，关于x的方程
      f′(x)
      ex
      =
      1
      2
      (t-2)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解．（15分）
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