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  • 如图，已知点A（11，0），直线x=t（-1＜t＜11）与函数y=√x+1的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．（ I）求函数f（t）的解析式；（ II）求函数f（t）的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知点A（11，0），直线x=t（-1＜t＜11）与函数y=
      √x+1
      的图象交于点P，与x轴交于点H，记△APH的面积为f（t）．
      （ I）求函数f（t）的解析式；
      （ II）求函数f（t）的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（ I）由题意点P（x，y），则x=t，y=
      √t+1
      ，其中-1＜t＜11，
      ∴AH=11-t，PH=
      √t+1
      ，
      所以△APH的面积为f（t）=
      1
      2
      ?AH?PH=
      1
      2
      （11-t）
      √t+1
      ，其中-1＜t＜11．
      （ II）【解法1】∵f（t）=
      1
      2
      （11-t）
      √t+1
      ，其中-1＜t＜11．
      ∴f，（t）=-
      1
      2
      √t+1
      +
      1
      2
      ×（11-t）×
      1
      2
      √t+1
      =
      3(3-t)
      4
      √t+1
      ，
      由f'（t）=0，得t=3，
      函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况下表：

      所以当t=3时，函数f（t）取得最大值8．
      【解法2】由f（t）=
      1
      2
      （11-t）
      √t+1
      =
      1
      2
      √(11-t)2(t+1)
      ，-1＜t＜11，
      设g（t）=（11-t）      2（t+1），-1＜t＜11，
      则g'（t）=-2（11-t）（t+1）+（11-t）      2=（t-11）（t-11+2t+2）=3（t-3）（t-11）．
      函数g（t）与g'（t）在定义域上的情况下表：


      所以当t=3时，函数g（t）取得最大值，
      即当t=3时，函数f（t）取得最大值
      1
      2
      √g(3)
      =8．
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