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  • 设函数f(x)=4x2+4x，（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；（3）求值：f(12012)+f(22012)+f(32012)+…+f(20112012)．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=
      4x
      2+4x
      ，
      （1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；
      （2）证明：对任意的实数t，都有f（t）+f（1-t）=1；
      （3）求值：f(
      1
      2012
      )+f(
      2
      2012
      )+f(
      3
      2012
      )+…+f(
      2011
      2012
      )．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：设任意x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=
      4x1
      2+4x1
      -
      4x2
      2+4x2
      =
      2(4x1-4x2)
      (2+4x1)(2+4x2)
      ，
      ∵x      1＜x2，
      ∴      4x1＜4x2，∴4x1-4x2＜0，
      又2+4      x1＞0，2+4x2＞0．
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2），…（4分）
      ∴f（x）在R上是增函数 …（6分）
      （2）对任意t，f（t）+f（1-t）=
      4t
      2+4t
      -
      4t-1
      2+4t-1
      =
      4t
      2+4t
      -
      4
      24t+4
      =
      2+4t
      2+4t
      =1．
      ∴对于任意t，f（t）+f（1-t）=1 …（10分）
      （3）∵由（2）得f（t）+f（1-t）=1
      ∴f(
      1
      2012
      )+f(
      2011
      2012
      )=1，f(
      2
      2012
      )+f(
      2010
      2012
      )=1，
      ∴f(
      1
      2012
      )+f(
      2
      2012
      )+f(
      3
      2012
      )+…+f(
      2011
      2012
      )+f(
      2011
      2012
      )+f(
      2010
      2012
      )+f(
      2009
      2012
      )+…+f(
      1
      2012
      )=2011，
      ∴f(
      1
      2012
      )+f(
      2
      2012
      )+f(
      3
      2012
      )+…+f(
      2011
      2012
      )=
      2011
      2
      …（14分）
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