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  • 定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(√x2+y2)≤f(√xy)+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（0，+∞）上函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若不等式f(
      √x2+y2
      )≤f(
      √xy
      )+f(a)对任意x，y∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是          ．

      试题解答

      0＜a≤
      √2
      解：设x1＞x2＞0，则
      x1
      x2
      ＞1
      ∵f（x）+f（y）=f（xy），
      ∴f（x）-f（y）=f（
      x
      y
      ），
      f（x      1）-f（x2）=f（
      x1
      x2
      ）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
      ∵f(
      √x2+y2
      )≤f(
      √xy
      )+f(a)
      ∴f（
      √x2+y2
      ）≤f（a
      √xy
      ）
      即
      √x2+y2
      ≥a
      √xy

      √x2+y2
      ≥
      √2xy
      ≥a
      √xy

      ∴a≤
      √2

      故答案为：0＜a≤
      √2
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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