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  • 已知定义在R上的奇函数，f（x）当x＞0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当a＞2e时，若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的奇函数，f（x）当x＞0时，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）当a＞
      2
      e
      时，若函数y=f（x）在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为f（x）是奇函数，且定义域为R
      则f（0）=0，
      设x＜0，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
      则f(x)=
      {
      lnx-ax+1 x＞0
      0 x=0
      -ln(-x)-ax-1 x＜0

      （2）因为函数是奇函数，f（0）=0，则除0外还有两正数零点和两负数零点，且关于原点对称，
      则只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根即可．
      当x＞0时，f′(x)=
      1
      x
      -a，
      ①若a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，不合；
      ②若a＞0时，令f′(x)=
      1
      x
      -a=0得x=
      1
      a
      ，
      则f（x）在(0，
      1
      a
      )上递增，在(
      1
      a
      ，+∞)上递减，
      要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有两个不等实数根，
      则f(
      1
      a
      )=-lna＞0?a∈(0，1)
      又因为x→0时，f（x）→-∞，
      或f(
      1
      a+e
      )=ln
      1
      a+e
      -
      a
      a+e
      +1＜ln
      1
      e
      +1-
      a
      a+e
      =-
      a
      a+e
      ＜0，
      且f(
      2
      a
      )=ln
      2
      a
      -2+1=ln
      2
      a
      -1＜lne-1=0(a＞
      2
      e
      )，
      则f(
      1
      a
      )f(
      1
      a+e
      )＜0，f(
      1
      a
      )f(
      2
      a
      )＜0，
      故当a∈(
      2
      e
      ，1)时满足题意．
      另解：当x＞0时，
      设a=
      lnx+1
      x
      (x＞0)=g(x)，g′(x)=-
      lnx
      x
      =0?x=1，
      又g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
      且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，
      再作出函数的草图可得，0＜a＜1，又a＞
      2
      e
      ，
      故当a∈(
      2
      e
      ，1)时满足题意．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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