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  • 已知a＞0且a≠1，f(x)=aa2-1(ax-1ax)．（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；（2）判断f（x）的单调性并用定义加以证明；（3）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞0且a≠1，f(x)=
      a
      a2-1
      (ax-
      1
      ax
      )．
      （1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；
      （2）判断f（x）的单调性并用定义加以证明；
      （3）当f（x）的定义域为（-1，1）时，解关于m的不等式f（1-m）+f（1-m      2）＜0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
      f(-x)=
      a
      a2-1
      (a-x-
      1
      a-x
      )=f(x)=
      a
      a2-1
      (
      1
      ax
      -ax)=-f（x）
      ∴函数f（x）为定义域上的奇函数
      （2）此函数为R上的单调增函数
      证明：设?x      1，x2∈R，且x1＜x2
      f（x      1）-f（x2）=
      a
      a2-1
      [(-
      1
      ax1
      +ax1)-(-
      1
      ax2
      +ax2)]=
      a
      a2-1
      [
      1
      ax2
      -
      1
      ax1
      +ax1-ax2]
      =
      a
      a2-1
      [(ax1-ax2)(1+
      1
      ax1+x2
      )]
      ∵a＞1时，
      a
      a2-1
      ＞0，ax1-ax2＜0，1+
      1
      ax1+x2
      ＞0，f（x1）-f（x2）＜0
      0＜a＜1时，
      a
      a2-1
      ＜0，ax1-ax2＞0，1+
      1
      ax1+x2
      ＞0，f（x1）-f（x2）＜0
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）为R上的单调增函数
      （3）f（1-m）+f（1-m      2）＜0?f（1-m）＜-f（1-m2）?f（1-m）＜f（m2-1）（奇函数的性质）
      ∵函数f（x）为（-1，1）上的单调增函数
      ∴f（1-m）＜f（m      2-1）?
      {
      -1＜1-m＜1
      -1＜m2-1＜1
      1-m＜m2-1
      ?
      {
      0＜m＜2
      0＜m2＜2
      m＞1或m＜-2

      解得1＜m＜
      √2
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      必修1人教A版单选题高中数学

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