已知函数g(x)=-(12)x2的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x-2-x2（x∈A）．（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数g(x)=-(

)^x²的值域为A，定义在A上的函数f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

见解析

解：（1）∵x²＞0，
∴0＜(

)^x²＜1，-1＜-(

)^x²＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函数f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不关于原点对称，
∴f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=

x₁²

-x₁²-（

x₂²

-x₂²）=

x₂²-x₁²

x₁²x₂²

+（x₂²-x₁²）
=（x₂²-x₁²）（1+

x₁²x₂²

）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x₁²＞x₂²，

x₁²x₂²

＞0，
∴（x₂²-x₁²）（1+

x₁²x₂²

）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函数．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴

{	-1＜3x+1＜0 -1＜5x+1＜0 3x+1＜5x+1

解得：x∈?．

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