已知f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意a，b∈R且当a+b≠0时，都满足f(a)+f(b)a+b＞0．（1）求证：f（x）在R上是的增函数；（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意a，b∈R且当a+b≠0时，都满足

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）求证：f（x）在R上是的增函数；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）不妨设x₁＜x₂，由

f(a)+f(b)

a+b

＞0，
得

f(x₁)+f(-x₂)

x₁+(-x₂)

＞0，
又f（x）是定义域为R的奇函数，
∴

f(x₁)-f(x₂)

x₁-x₂

＞0，
而x₁-x₂＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）是奇函数，
∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0?f（mt²+1）＞f（mt-1），
∵f（x）在R上是增函数，
∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立
即mt²+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立
即mt²-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立．
当m=0时，不等式即为2＞0恒成立，合题意；
当m≠0时，有

{	m＞0 △=m²-8m＜0

，
即0＜m＜8
综上：实数m的取值范围为0≤m＜8．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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