已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f(x)=2x4x+1．（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

4^x+1

．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．

见解析

解：（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

4^x+1

，
∴当x∈（-1，0）时，f(x)=-f(-x)=-

2^x

4^x+1

；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则
f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁(4^x₂+1)-2^x₂(4^x₁+1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

2^x₁+x₂(2^x₂-2^x₁)+(2^x₁-2^x₂)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

═

(2^x₁-2^x₂)(1-2^x₁+x₂)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2^x₁-2^x₂＜0，1-2^x₁+x₂＜0，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）是减函数．

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