已知定义在R上的函数f（x）=log2（x2+ax+5）（a＞0），其值域为[2，+∞）．（1）求函数f（x）的解析式．（2）讨论函数f（x）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性．（写出完整解题过程）试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R上的函数f（x）=log₂（x²+ax+5）（a＞0），其值域为[2，+∞）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）讨论函数f（x）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性．（写出完整解题过程）

试题解答

见解析

解：（1）由题意函数f（x）=log₂（x²+ax+5）在R上的最小值为2，
因为函数y=log₂u在（0，+∞）上是增函数，
所以当f（x）=log₂（x²+ax+5）取最小值时，u=x²+ax+5也取最小值
所以函数y=x²+ax+5在R上的最小值为2²=4，
得

20-a²

=4(a＞0)，解得a=2，
所以f（x）的解析式为f（x）=log₂（x²+2x+5）
（2）因为y=log₂u在（0，+∞）上是增函数，
函数u=x²+2x+5在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增
所以函数f（x）=log₂（x²+ax+5）在（-∞，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增
所以，当b≥-1时，函数f（x）在区间[b，+∞）上单调递增
当b＜-1时，函数f（x）在区间[b，-1]上单调递减，在[-1，+∞）上单调递增．

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已知定义在R上的函数f（x）=log2（x2+ax+5）（a＞0），其值域为[2，+∞）．（1）求函数f（x）的解析式．（2）讨论函数f（x）在区间[b，+∞）（b∈R）上的单调性．（写出完整解题过程）试题及答案-单选题-云返教育

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